La réplication d'un chromosome en anneau, après échange de
chromatides, est assimilée au clivage d'une surface de Moebius. Après cassure
des chromatides du dicentrique ainsi forme, les anneaux fils portent des
duplications ou des déficiences dont la répartition suit une loi non
gaussienne, correspondant aux termes de la diagonale d'une table de
Pythagore.
Un anneau résulte du recollement des deux extrémités d'un même
chromosome, après délétion des segments terminaux.
S'il se produit un échange de chromatides au cours de la réplication
de l'anneau, il en résulte un dicentrique dont les deux centromères sont
diamétralement opposés.
Cette symétrie des chromatides d'un anneau dicentrique, observée au
microscope, permet de s'assurer que la position du point d'échange ne modifie
pas l'ordre des gènes.
On peut donc assimiler ce processus au clivage d'une surface de
Moebius et cela conduit à dénier que le centromère puisse jouer le rôle d'un
émerillon.
La migration des deux centromeres à des pôles opposés impose aux
chromatides une tension qui peut provoquer leur rupture. Le recollement
secondaire des extrémités rompues reconstitue un nouvel anneau dans chaque
cellule fille.
Le contenu génétique de ces anneaux fils dépend des positions
relatives des deux points de cassure. Il est aisé de verifier que si ces deux
points sont diamétralement opposés, les anneaux fils sont identiques entre
eux et identiques à l'anneau primaire. Par contre, si les points de cassure ne
sont pas diamétralement opposés, mais sont " de guingois ", l'un des anneaux
porte une duplication et l'autre est déficient pour ce même fragment.
Pour estimer la probabilité pour un gène donné d'être ainsi inclus
ou exclus indûment, on peut supposer que les cassures se produisent
indépendamment, en des points quelconques des chromatides.
S'il existe n genes sur un anneau, la sequence qu'ils forment peut
être définie en assignant à chacun d'eux un certain rang r. Ce rang r varie
de 1 a, n, le gène de rang 1 et le gene de rang n étant situés de part et
d'autre du centromère.
Pour simplifier le raisonnement on peut considérer que les cassures
ne se produisent qu'entre deux gènes ou entre un gène et le centromère. Les
(n + 1) cassures possibles de chaque chromatide définissent alors (n + 1)
combinaisons diamétrales. Comme le nombre de toutes les combinaisons est de (n
+ 1)2, on voit que le nombre des combinaisons " de guingois " est n
fois plus élevé que celui des diamétrales.
On voit aussi que le nombre de gènes intéressés par une combinaison
de guingois donnée est égal au nombre de gènes compris entre le point de
cassure réel et le point déterminé par la combinaison diamétrale
correspondante. Ce nombre peut varier de 1 a n.
Soit un gène situé au rang r sur un anneau.
De toutes les combinaisons de guingois intéressant un seul gène, une
seule affectera le gène de rang r. De toutes celles intéressant deux gènes,
deux affecteront le gène de rang r. Plus généralement les combinaisons de
guingois intéressant un nombre de gènes variant de 1 à r, affecteront le
gène de rang r : 1 + 2 + 3 + ... + r fois, soit i (i entier).
Le même raisonnement montre que les combinaisons de guingois
intéressant un nombre de gènes variant de n à (n - r + 1), affecteront de la
même façon le gène de rang r, soit encore
i.
Enfin chaque combinaison de guingois intéressant un nombre de gènes
variant de n à (r + i) à (n - r) affectera r fois le gène de rang r. Le nombre
total sera donc r (n - 2 r).
En définitive un gène de rang r se trouvera compris dans un
remaniement un nombre de fois égal à 2 i + r (n
- 2 r), soit r (n - r + 1).
On voit alors que la somme de toutes les atteintes possibles de chacun
des n gènes est égale à r(n - r + 1) = (n +
1) x (n) (n + 1)/2 - (n) (n + 1) (2n + 1)/6
puisque r varie de 1 à n.
La probabilité d'inclusion ou d'exclusion du gène de rang r est donc
donnée par la formule :
dont le numérateur se trouve définir chacun des termes de la
diagonale d'entrée n d'une table de Pythagore et le dénominateur, la somme de
ceux-ci.
Cette distribution permet de conclure qu'un gène situé " au milieu "
d'une chromatide en anneau est beaucoup plus fréquemment acquis ou perdu,
qu'un gène jouxtant le centromère.
On peut en déduire que le phenotype des sujets porteurs d'un
chromosome en anneau n'est pas entièrement défini par les déficiences
résultant de l'accident primitif (perte des segments terminaux lors de la
constitution de l'anneau).
Les échanges de chromatides lors des réplications de l'anneau
peuvent déterminer secondairement une mosaïque complexe de
monosomies/polysomies dont le contenu génétique dépend statistiquement de la
séquence génique de l'anneau primaire. Ce phénomène rend compte de la
difficulté, voire de l'impossibilité, d'analyser le phenotype des individus
porteurs d'un chromosome en anneau en fonction d'hypothèses simples sur la
lésion primitive.
La loi de distribution décrite dans cette Note a pour particularité
de ne point s'étendre vers les deux infinis comme la courbe de Laplace-Gauss.
Son application à la représentation statistique de la variabilité de
paramètres biologiques " dans les limites de la normale ", pourrait être
envisagée.
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